ÇARPANLARA AYIRMA

ÇARPANLARA AYIRMA, ÇARPANLARA AYIRMANIN ÖZELLİKLERİ (1) İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR)



Bir Polinom ifadenin daha düşük dereceli ifadelerin çarpım şeklinde yazılmasına çarpanlara ayrıma denir Çarpanlara Ayırma denir.



Çarpanlara Ayırma rasyonel ifadelerin sadeleşmesine ve denklem çözümlerinin çok kullanıldığı bir işlemdir.Çarpanlara ayırmada ilk adım çarpanların toplama üzerinde dağılma özelliğinden faydalanarak EBOÇ (En Büyük Ortak Çarpan ) kullanmaktır.İki yada daha fazla üstel ifade verildiğinde bunların üsleri veya tabanları aynı olması halinde EBOÇ kullanılır



için EBOÇ = dür

için EBOÇ = a dır



Ör : 27için bulunması için ;





Polinom ifadelerinin bazıları ise GRUPLANDIRILARAK çarpanlara ayrılabilir.

ifadesini ele alırsak ; ilk iki ile son iki terimlisi gruplandırılmalı. her grup içinde EBOÇ bulunmalı.

=(2y-7).(3-2)

3 terimli Polinom ifadelerinde deneme yöntemi ile çarpanlara ayrıma yapılır.





Ör :



in çarpanlarına ayırmada dikkat edilecek hususlar ;



1-) c sabiti dağılma özelliği iki terimlinin sabitlerinin çarpımından gelir.

2-)b katsayısı iki terimlideki sabitlerin toplamıdır.

3-)c pozitif ise, iki terimlideki sabitler aynı işaretlidir.

4-) c negatif ise, iki terimlideki sabitler ters işaretlidir.b`nin önündeki önündeki işaret ise mutlak değerce büyük olan sabitin işaretidir.



Örnek ; ifadesini çarpanlara ayırınız.



Çözüm: Burada uygulanacak yöntem ; -18’in çarpanlarını bularak bunlardan hangi ikisinin toplamının +7 verdiğini bulmaktır. Bu ise -2 ve +9 ‘un toplamıdır.

(x-2).(x+9)





‘nin çarpanlara ayrılmasında dikkat edilecek hususlar ;





· Üç terimlinin sabit terimi pozitif ise iki terimlinin sabit terimleri aynı işaretli olup bu işaret aynı zamanda b’ninde işaretidir

· Üç terimlinin sabit teriminin sabit işareti negatif ise iki terimlilerin sabit terimlilerin sabitleri ters işaretleridir.

· Üç terimli ifadenin terimlerinin ortak çarpanı yoksa , iki terimlilerinde ortak çarpanı yoktur.



Örnek ; ifadesinin çarpanlarına ayırınız.



Çözüm : Sabit terim +4 olup, çarpanlarına ayırdığımız zaman oluşan iki terimlilerin sabit terimleri aynı aynı işaretli oldukları anlaşılır. b = -11 olduğu için her ikisininde (-) olduğuna karar verilir



’ çarpanlar 4’ün çarpanları



x 6x -1 -4

2x 3x -2 -2



Bu çarpanlarda doğru orta terim bulmaya çalışılır.



Denen Çarpanlar Ortadaki Terim



(x-1).(6x-4) 6x ile 4’ün ortak çarpanı var.

(x-4).(6x-1) -x-24 = -25x

(x-2).(6x-2) 6x ile 2’nin ortak çarpanları var

(2x-1).(3x-4) -8x-3x =-11x -> Doğru Orta Terim



o halde

DİKKAT :Bazı durumlarda bir bir polinomu iki polinomun (tam katsayılı) çarpımı şeklinde ifade etmek mümkün olmayabilir. Örneğin tam sayılarda çarpanlara ayrılamaz.Çünkü 7 sayının çarpanlarının toplamının veya farkı üç sayısını veremez.





Çarpanlara Ayırma Teoremi:



Üç terimli polinomlarda tamsayı katsayıları a,b,c olmak üzere, şayet tam kare ise bu üç terimli iki terimlinin çarpımı halinde yazılabilir.



Örnek : ifadelerini çarpanlarına ayırınız.



Çözüm : a = 6 b = -5 c = -4

25-4(6)(-4)=121 121 tam kare olduğundan çarpanlarına ayrılabilir.

’nin çarpanları -4’ün çarpanları



x 6x +4 -1 = 2x 3x 2x 3x

2x 3x -4 +1 4 1 4 1

12x 2x +3x -8x = -5x

=(2x+1)(3x-4)



Bazı polinomların dereceleri ikiden fazla olmasına rağmen deneme metotu kullanarak çarpanlara ayrılabilir.

polinomunu ele alırsak tüm terimlerin işaretlaerinin pozitif olduğunu görüyoruz; buradan da çarpanlara ayırdığımız zaman oluşan iki terimlilerin bütün katsayılarının pozitif olması gerekiyor.

nın çarpan 9’un çarpanları

1 9 =

3 3 1 9 +3 +3

denemesi orta

terimi vermez

O halde





ÖZDEŞLİKLER :



Bazı polinomlar da aşağıdaki özdeşlikleri kullanarak çarpanlarına ayrılır.

İki kare farkı



Tam kare , üç terimli



Küp toplamı-farkı



Toplamın-Farkın küpü



Tam Kare Üç terimli :

şeklinde gösterebilirsek.

bulunur.





RASYONEL İFADELER



TANIM: P(x) ve Q(x) reel katsayılı iki polinom ve Q(x)≠0 için. biçimindeki ifadelere rasyonel ifadeler denir.

X elemanını reel sayılar kümesinden seçersek , paydanın sıfır olduğu haller dışında , daima reel değerler verir.

Yani xR için reel sayıların bir alt kümesinden ,reel sayılara bir fonksiyon olarak düşünülebilir.

biçimindeki rasyonel ifadeleri , rasyonel sayılarda olduğu gibi sadeleştirebiliriz .Ancak bunu yaparken x elemanını tanımsız kabul ediyoruz. bilgiyelpazesi.net



Örnek: ifadesini sadeleştiriniz.

Çözüm :





RASYONEL İFADELERDE TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ



TANIM: rasyonel ifadesi verilsin.

a-) ifadesine bu iki rasyonel ifadenin toplamı

b-)ifadesinde bu iki rasyonel ifadenin farkı denir.





Rasyonel ifadeler toplanır veya çıkarılırken şu işlemler uygulanır ;

· İfadeler çarpılırken en sade biçimine getirilir.

· Paydalar eşitlenir.Bunun için paydaların EKOK u bulunur.Her ifade, paydası EKOK olacak şekilde genişletilir.

· Paydalar toplanıp veya çıkarılıp paya yazılır.Ortak paydada paya yazılır.

· Bulunan sonuç sadeleşiyorsa tekrar sadeleştirilir.





Örnek : işlemini yapınız.

Çözüm :



Örnek : işlemini yapınız.

Çözüm







RASYONEL İFADELERDE ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ



TANIM : rasyonel ifadeleri verilsin .

a-) rasyonel ifadesine iki rasyonel ifadenin çarpımı;

b-) rasyonel ifadesine iki rasyonel ifadenin bölümü denir.



Rasyonel İfadelerde Çarpma İşlemi Yapılırken ;

· Verilen ifadeler çarpanlarına ayrılır.

· Sadeleştirme varsa yapılır.

· Paylar çarpılıp paya ,paydalar çarpılıp paydaya yazılır.

Rasyonel İfadelerde Bölme İşlemi Yapılırken ;



· Birinci ifade aynen yazılır .İkinci ters çevirilir.Sonra çarpma işlemi yapılır.



Örnek : işlemini yapınız.

Çözüm:

Örnek : işlemini yapınız.

Çözüm:







SORULAR





1-) x =196 , y = 4 , a = 38 , b = 2 için

ifadesinin değeri kaçtır?



Çözüm : dir



2-) olduğuna göre nedir?



Çözüm :





3-) x ve y pozitif gerçel sayılar olmak üzere ;

olduğuna göre , ifadesinin değeri kaçtır?



Çözüm :

x ve y pozitif gerçel sayı olduğundan ;





4-) x pozitif sayısı gerçel sayı olmak üzere;

ifadesini değeri kaçtır?



Çözüm :



5-) işleminin sonucu kaçtır ?



Çözüm : dir.



6-) olduğuna göre = ?



Çözüm :



7-) x + y +z = 6

xy +yz +xz =12 olduğuna göre toplamı kaçtır ? bilgiyelpazesi.net



Çözüm :





8-) toplamının en küçük değeri kaçtır ?



Çözüm :

9-) Şekildeki dairenin yarıçapı r ,dıştaki yarı çapı ise R dir.Dairenin çevrelerinin toplamı

toplamı olduğuna göre R kaçtır?



Çözüm :



10-) x<0<y olmak üzere

olduğuna göre y nin değeri nedir?



Çözüm :





11-) ise kaçtır ?



Çözüm :



12-) olduğuna göre ;

ifadesinin değeri kaçtır ?



Çözüm :



13-) olduğuna göre ,

ifadesinin değeri kaçtır ?



Çözüm :



14-) ifadesini sadeleşebilen bir kesir olduğuna göre, m in alabileceği değerler

toplamı nedir ?



Çözüm :

- Sadeleşebilen bir kesir olduğu için nin çarpanlarından biri x-4 veya x-2

- nin çarpanlarından biri x-4 ise değeri x-3 dür.

- olduğundan m = -1 dir.

- nin çarpanlarından biri x+2 ise diğeri x-6 dır.

- olduğundan m = -4 tür

-Buna göre m in alabileceği değerler toplamı -1-4 = -5 dir



15-) ifadesinin sadeleşmiş biçimi nedir?



Çözüm :





16-) a +b + c toplamının değeri kaçtır.





Çözüm :



17-)ifadesinin pozitif değeri kaçtır?



Çözüm :



18-) ifadesinin sonucu kaçtır ?



Çözüm :



19-)olduğuna göre ifadesinin sayısal değeri nedir ?



Çözüm :



20-) olduğuna göre ,

kaçtır?



Çözüm :